Написал претензию банку, и банк исправил мне мою кредитную историю!

А как вообще телефонный разговор в суде доказывать ?

Записывать телефонный разговор, но только так, чтобы на записи было слышно, что вы предупредили собеседника об этом. И взять распечатку детализации у оператора (с печатью), где видно, что вы (или вам) звонили именно туда и именно тогда.

Т.е. произнести - "я записываю наш разговор", а собеседник - "я вас понял, вы записываете наш разговор" ?

Да, так же как это делает робот, когда вы звоните на какую-нибудь горячую линию. А его согласие не нужно.